Question

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；

（Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.

Answer

（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0.

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，，利用导数求出的取值范围，从而可得结果.

（1），

.

当时，在恒成立，

在是单减函数.

当时，令，解之得.

从而，当变化时，，随的变化情况如下表：

-

0

+

单调递减

单调递增

由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.

综上，当时，的单减区间为；

当时，的单减区间为，单增区间为.

（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数；

又，，.

，；

故在有两个零点.

（3）当，为整数，且当时，恒成立

.

令，只需；

又，

由（2）知，在有且仅有一个实数根，

在上单减，在上单增；

又，，

，且，

即代入式，得

.

而在为增函数，，

即.

而，，

即所求的最大值为0.