Question

如图，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面成的二面角，，，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）试问在线段上是否存在一点，使锐二面角的余弦值为.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据二面角的平面角的定义得到即为二面角的平面角，根据，得到线面垂直，进而得到面面垂直；（Ⅱ）根据二面角的平面角的定义，结合三垂线法做出平面角是锐二面角的平面角，由几何关系得到相应结果即可.

（Ⅰ）证明：∵，，

∴即为二面角的平面角，

∴.

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）在线段上存在一点，当符合题意，

∵平面平面，在平面内，作于，

又∵平面平面，则平面.

过作于H，连接，∵为在平面的射影，

∴是锐二面角的平面角，

因为，又因为锐二面角的余弦值是，

所以.

取中点，易知与相似，设，则，

即，解得或（舍），

因此存在符合题意的点，使得.