Question

如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，．

（1）若是线段的中点，求证：平面平面；

（2）若、、分别是线段、、的中点，求证：直线平面．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）证明平面，然后利用面面垂直的判定定理可证明出平面平面；

（2）连接，由中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证明出直线平面，同理可得出平面，由面面平行的判定定理得出平面平面，由此可得出直线平面.

（1）连接，在中，，为中点，所以，

由于侧面是菱形，则，，所以，为等边三角形，为的中点，，

而，所以平面，

而平面，所以平面平面；

（2）如下图所示，连接，

在中，、分别为、的中点，所以，

而平面，平面，所以平面．

同理，，在三棱柱中，，，

而平面，平面，所以平面．

而，、平面，所以平面平面．

又平面，所以直线平面．