Question

已知四棱锥，，，，点在底面上的射影是的中点，．

（1）求证：直线平面；

（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小．

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）连接，由题意可得出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的思想可得出，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，先由求出点的坐标，然后利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；

（3）设，则，，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，求出的值，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的大小．

（1）连接，因为平面，平面，所以，

又因为，且为的中点，故．

又，所以平面；

（2）以为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系如图所示，

则，，，，

于是，解得．即．

所以，，

设平面的法向量为，，，

则，令，得，

所以．

故直线与平面所成角的正弦值为；

（3）设，则，，

所以，

当且仅当即时取等号，此时，，

以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，．

设平面的法向量为，，，

则，令，得，

同理，可得平面的一个法向量为的，

所以，

又因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小为．