Question

已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意的，均有，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，然后对分类讨论，分析导数符号的变化，可得出该函数的单调增区间和减区间；

（2）由题意知，由可得出，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合，可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，且．

①当时，对任意的，，则函数在区间上单调递减；

②当时，令，得；令，得.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（2）由于对任意的，均有，则且，

由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，

即．

令，则，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且，，为使，

则实数的取值范围为．