Question

已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．

Answer

（1）（2）存在，，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，根据的面积计算出，可设椭圆的标准方程为，再将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出的值由此可求出椭圆的方程；

（2）设点，，，由，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，代入，求出实数的值，即可求出定点的坐标；

（3）设点，，，由题意得出，化简得出，可求出正数的值，从而得出结论.

（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为，

将代入方程得，，

易知，所以，因此，椭圆的方程为；

（2）存在这样的点为，下面证明：

设，，，所以要使得，

即 ①；

联立，

由韦达定理得，，

代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时，

所以点；

（3）设点，，，

因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得，

故，

因为，代入得．

而，，

而，所以，即线段的长度为定值．