已知函数，，. （1）若，解关于的方程；（2）设，函数在区间上的最大值为3，求...

已知函数，，.

（1）若，解关于的方程；

（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；

（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.

（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. （1）当时，，则，定义域为. 由，可得，可得，解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；（2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；当时，令，得，此时，所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是；（3），由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在区间上为减函数，所以，，由题意可得，可得，所以，. ①当时，； ②当时，令，设，可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性，任取、且，即，，，，，，即，所以，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是.

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考点分析：

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