Question

如图，在直角梯形中，，，，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且平面平面.

（1）求证：；

（2）设、分别为、的中点，为线段上的点（不与点重合）.

（i）若平面平面，求的长；

（ii）线段上是否存在，使得直线平面，若存在求的长，若不存在说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）存在，且．

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直；

（2）（i）由面面平行的性质定理得线线平行，可得长；

（ii）由线面垂直的判定定理可得．

（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，平面，∴．

（2）（i）∵平面平面，平面平面，平面平面，∴ ，又是中点，∴．

（ii）存在，过作于，

∵分别是中点，∴，

又由，所以平面，平面，∴，∴ ，又，所以平面．

在中，，

由得，∴ ．