Question

在平面直角坐标系中，是椭圆：上的点，过点的直线的方程为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）当时，

（i）设直线与轴、轴分别相交于，两点，求的最小值；

（ii）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点，，三点共线.

Answer

（1）（2）（i）（ii）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆方程求出可得离心率；

（2）（i）求出直线与坐标轴交点的坐标，可得出面积为，由在椭圆上，可得，由基本不等式可得的最大值，从而得面积最小值；

（ii）求出对称点的坐标，验证三点共线．可分类和分别求解．

（1）依题，，

所以椭圆离心率为.

（2）依题意，令，由，得，则.

令，由，得，则.

则的面积.

因为点在上，所以.

因为，即，则.

所以.

当且仅当，即，，面积的最小值为.

（3）由，解得.

①当时，，，此时，.

因为，所以三点，，共线.

当时，也满足.

②当时，设，，的中点为，则，代入直线的方程，得：

.

设直线的斜率为，则，

所以.

由，解得，.

所以.

当点的横坐标与点的横坐标相等时，把，代入中得，则，，三点共线.

当点的横坐标与点的横坐标不相等时，

直线的斜率为.由，.

所以直线的斜率为

.

因为，所以，，三点共线，

综上所述，，三点共线.