Question

设点、的坐标分别为和，动点P满足，设动点P的轨迹为，以动点P到点距离的最大值为长轴，以点、为左、右焦点的椭圆为，则曲线和曲线的交点到轴的距离为_________.

Answer

【解析】

由动点P满足,则可得到动点在以线段为弦的圆上,由圆的性质可得圆心为或,半径为2,则动点P到点距离的最大值为4,即可得到椭圆的方程,联立部分曲线的方程与椭圆方程求解即可

由题,因为动点P满足,则动点在以线段为弦的圆上,

因为点、关于轴对称,则圆心在轴上,设圆心为,原点为,

因为,所以,则在中,,所以,,则圆心为或,

当时, 曲线的方程为；当时, 曲线的方程为；显然,曲线关于轴对称,

所以动点P到点距离的最大值为圆的直径,即,则长轴长为4,

所以椭圆为,

则曲线与曲线的图象如下图所示：

因为曲线与曲线均关于轴对称,所以可只考虑轴上方形成的交点,

即联立,消去得,,解得或（舍）,

故曲线和曲线的交点到轴的距离为,

故答案为: