Question

如图，在三棱锥中，，，为的中点..

（1）求证：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接,利用勾股定理证得和,进而得证；

（2）以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面的法向量,进而利用数量积求夹角即可

【解析】
（1）连接,因为为的中点,

所以,

因为,

所以,所以,

在中,因为,

所以,,

在中,,所以,即,

因为,所以平面ABC,

又因为平面,所以平面平面

（2）【解析】
由（1）得,

故以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

由题,,,,

因为为的中点,所以的坐标为,

所以,,

设为平面的一个法向量,

则,得,取,则,,即

由（1）,平面平面,平面平面,平面,所以平面,

为平面的一个法向量,,

,

所以二面角的余弦值为