Question

设抛物线的对称轴是轴，顶点为坐标原点，点在抛物线上，

（1）求抛物线的标准方程；

（2）直线与抛物线交于、两点（和都不与重合），且，求证：直线过定点并求出该定点坐标.

Answer

（1）；（2）证明见解析；直线恒过点.

【解析】

（1）设,将点代入方程求解即可；

（2）当时显然不成立；当时联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理得到及的关系,由可得,代入即可得到与的关系,进而得到定点；当不存在时,联立直线方程与抛物线方程,同理运算即可

【解析】
（1）因为抛物线的对称轴是轴,设抛物线的标准方程为,

因为抛物线经过点所以,所以,

所以设抛物线的标准方程为

（2）证明：当直线的斜率存在且时,显然直线与抛物线至多只有一个交点,不符合题意；

当直线的斜率存在且时,设直线的方程为,

联立,消去,得①；

消去,得②；

设,则为方程①的两根,为方程②的两根,

,

因为,所以,

因为,所以,

即,

所以,即,

所以直线的方程可化为,

当时,无论取何值时,都有,所以直线恒过点,

当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,

把与联立得,

则,

因为,

所以,即,得,

所以直线的方程为,

所以直线过点,

综上,无论直线的斜率存在还是不存在,直线恒过点.