Question

如图，正三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，是的中点.

（1）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在指出点在线段上的位置，若不存在，请说明理由；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer

（1）存在，点为线段的中点（2）.

【解析】

（1）设的中点为,连接,以为坐标原点,分别以为、、轴建立空间直角坐标系,先求得平面的法向量,若平面平面,则平面,进而求解即可；

（2）由（1），利用与求解即可

（1）证明：存在点为线段的中点,使得平面平面，

设的中点为,连接,

以为坐标原点,分别以为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,

因为正三棱柱的底面边长和侧棱长都为2,是的中点,

所以在中,,

则,

所以,

设为平面的法向量,

则即,设,则,所以；

因为,

,所以,

若线段上存在点,使得平面平面,

设点坐标为,则,

因为平面平面,所以也为平面的法向量,即,

则,所以,所以点为线段的中点

（2）【解析】
由（1）得为平面的法向量,,

则,

所以直线与平面所成的角的正弦值为.