Question

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）先求出椭圆的焦点坐标和左、右顶点坐标,则由题意可得双曲线的,进而求解即可；

（2）联立直线与双曲线方程,利用韦达定理得到及的关系,代入可得的范围；再由两个不同的交点,则,求得的范围,二者求交集即可得到结果

【解析】
（1）由题,在椭圆中,焦点坐标为和；左右顶点为和,

因为双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点,

所以在双曲线中,设双曲线方程为,则,所以,

所以双曲线的方程为

（2）由（1）联立,消去,得①；

消去,得②

设,则为方程①的两根,为方程②的两根；

，

,

得或③,

又因为方程①中,,得④,

③④联立得的取值范围