Question

在下列命题中,正确的命题有________(填写正确的序号)

①若,则的最小值是6;

②如果不等式的解集是,那么恒成立;

③设x,,且,则的最小值是;

④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;

⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;

⑥若,,,则必有;

Answer

①②③④⑥

【解析】

①,利用均值定理求最值即可；

②由一元二次不等式与一元二次方程的关系,利用韦达定理求解即可；

③由得,代入式子中可得关于的函数,进而求得最值即可；

④设,则可转化为在时,,进而求解即可；

⑤由纯虚数的定义可知虚部不为0,实部为0,进而判断即可；

⑥由可得,代入中可得,再将代入求解即可

①因为,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故①正确；

②由不等式与方程的关系可知和是方程的解,所以,,所以,,则,故②正确；

③因为,所以,

则,

则当时,的最小值为,故③正确；

④由题,因为,即在时恒成立,

当时,,不成立；

当时,设,

当时,,解得或,所以；

当时,,解得或,所以,

综上,,故④正确；

⑤因为()是纯虚数,所以,解得或,

所以“”是“复数()是纯虚数”的充分不必要条件,故⑤错误；

⑥因为,,所以,代入可得,

则,即,所以,

即,

所以,

故⑥正确；

故答案为: ①②③④⑥