Question

设函数(a,);

(1)若,求证:函数的图像必过定点;

(2)若,证明:在区间上的最大值;

(3)存在实数a,使得当时,恒成立,求实数b的最大值;

Answer

(1)证明见解析;(2) 证明见解析;(3)5;

【解析】

（1）由题可得代入解析式中,整理后即可得证；

（2）由题先将代入解析式中,由对称轴与区间的位置,分别讨论,,的情况,进而求证即可；

（3）由对称轴与区间的位置,分别讨论,,的情况,利用不等式的传递性,进而求解即可

（1）证明:由,则,所以,

则当时,无论为何值,都有,

所以函数的图像必过定点

（2）证明：因为,所以,

所以,

因为,,

令,则,

所以当时,；当时,,

当,即时,在上为增函数,则,

此时在的最大值为；

当,即时,在上为减函数,所以,

此时在的最大值；

当,即时,在上单调递减,在上单调递增,

所以的最小值为；

①当,即时,在上的最大值为,

因为,设,

所以,

此时在的最大值；

②当,即时,在上的最大值为,

因为,,

所以此时在的最大值；

综上,,故

（3）当,即时,在上单调递增,

所以,由可得,则,解得；

当,即时,在在上单调递减,

所以,由可得,则,解集为；

当,即时,在单调递减,在单调递增,

所以,

由和可得,即,则,

所以,与联立可得,

即,解得,

当时,由可得,此时满足所列不等式,

综上所述,的最大值为5,此时