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如图,直三棱柱中,,,,为的中点,点为线段上的一点. (1)若,求证: ; (2...

如图,直三棱柱中,的中点,点为线段上的一点.

(1),求证: ;

(2),异面直线所成的角为30°,求直线与平面所成角的正弦值.

 

(1)证明见解析 (2) 【解析】 (1)取中点,连接,,易知要证,先证平面; (2)如图以为坐标原点,分别以,,为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量及直线的方向向量,即可得到结果. (1)证明:取中点,连接,,有,因为,所以,又因为三棱柱为直三棱柱, 所以平面平面,又因为平面平面, 所以平面,又因为平面, 所以 又因为,,平面,平面, 所以平面, 又因为平面, 所以, 因为, 所以. (2)设,如图以为坐标原点,分别以,,为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系, 由 (1)可知,,所以, 故,,,,, 对平面,,, 所以其法向量为. 又, 所以直线与平面成角的正弦值.
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考点分析:
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为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

直径

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合计

件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

 

经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.

(1)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品,从设备的生产流水线上随意抽取3个零件,计算其中次品个数的数学期望

(2)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率):①;②;③.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级并说明理由.

 

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(1)解不等式

(2)若的最小值为,正实数满足,求的最小值.

 

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①若(1,2)∈S,则(-2,-1)∈S;

②若(0,2)∈S,则S中至少有4个元素;

③S中元素的个数一定为偶数;

④若{(x,y)|y2=4x,x∈Z,y∈Z}S,则{(x,y)|x2=-4y,x∈Z,y∈Z}S.

其中正确命题的序号为______.(写出所有正确命题的序号)

 

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