已知函数，其中. （1）求的单调递增区间；（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数...

已知函数，其中.

（1）求的单调递增区间；

（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数，其中，求证：存在极小值且该极小值小于.

（1）当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是；（2）证明见解析【解析】（1）先求导，通过导论参数和，根据导数值大于零，求出对应增区间即可（2）当时，，由（1）知切点即为，可求出，求出，先求导，再根据导数值正负进一步判断函数增减性，确定极值点，求证在该极值点处函数值小于即可【解析】（1），，当时，，的单调增区间是；当时，由可得，综上所述，当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是. （2）易知切点为，由得，，所以设，则在上是增函数，，当时，，所以在区间内存在唯一零点，即. 当时，；当时，；当时，，所以存在极小值. 又，则，故，故存在极小值且该极小值小于.

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考点分析：

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如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.

(1)若，求证: ;

(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.

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为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.

（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；

（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.