Question

某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.

（1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式；

（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？

Answer

（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元

【解析】

（1）设出两类产品的利润与投资额的函数关系式，代入已知求解即可；

（2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，根据（1）可得获得的利润为，利用换元法转化为二次函数求其最值.

【解析】
（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为：

，

结合已知得，

所以；

（2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，

依题意，获得的利润为，

令，则，

所以当，即时，取得最大值，，

故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元.