Question

设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是函数的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点.

（1）已知，若对于任意实数，函数恒有两个不相等的不动点，求实数的取值范围；

（2）已知，若在区间上存在不动点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将有两个不相等的不动点，转化为方程有两个不相等的实数根，继续转化为对任意恒成立，转化为最值即可；

（2）由已知得在上有解，即在上有解，

令，转化为二次函数值域问题即可；又在上恒成立，也令，转化为最值问题即可.

（1）因为有两个不相等的不动点，

所以方程有两个不相等的实数根，

则，

因为对任意恒成立，所以，

所以实数的取值范围是；

（2）由已知得在上有解，

在上有解，

令，

在区间上有解，

在区间上有解，

设，

在区间上单调递减，

故，

，

又在上恒成立，

在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

在区间上单调递减，

故，

，

综上实数的取值范围是.