Question

设函数(且,),是定义在上的奇函数.

(1)求的值;

(2)已知,函数,求的值域;

(3)若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

(1)1;(2);(3).

【解析】

（1）由奇函数定义性质求得，并检验函数为奇函数；

（2）由求得，换元，求得的取值范围，转化为的二次函数后可求得最值，得值域．

（3）计算出为偶函数,确定其单调性，计算，这样不等式可利用奇偶性与单调性化简为对任意恒成立,平方后利用二次不等式恒成立的知识可得．

(1)是定义域为上的奇函数,

,得.

此时,

即是上的奇函数.

(2),

即,

或(舍去),

令,

易知在上为增函数,

,

当时,有最大值;

当时,有最小值,

的值域是.

(3)由

为偶函数,且在单调递增,在单调递减.

又

对任意恒成立,即对任意恒成立,

平方得:对恒成立.

，

解得:

综上可得:的取值范围是.