Question

已知圆的圆心为,且截轴所得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设圆与轴正半轴的交点为,过分别作斜率为的两条直线交圆于两点,且,试证明直线恒过一定点,并求出该定点坐标.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）设圆的半径为,圆的圆心为,且截轴所得的弦长为,,即可求得答案;

（2）求出,设,直线的方程为,将圆和直线联立方程组,消掉,根据韦达定理求得,同理求得,写出直线方程，即可求得答案.

（1）设圆的半径为,

圆的圆心为,且截轴所得的弦长为

,

,

圆的方程为

（2）在中,令,得,

解得或,所以

设,直线的方程为

由,消掉得

根据韦达定理可得:,即,

,

即,

将代替,即可得到

,

直线的方程为

整理得,

即

即,

直线恒过一定点,定点为