Question

如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）设与相交于点，连接，证明，得到答案.

（2）先证明两两垂直，如图所示建立直角坐标系，分别计算法向量，利用夹角公式得到答案.

（3）设，则，利用夹角公式计算得到答案.

（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，

∴

又，

∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形，∵为中点，∴

又，

∴平面. ∵两两垂直

∴建立空间直角坐标系，如图所示：

∵四边形为菱形，， ，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴，

设平面的法向量为，则

令，则，得

设平面的法向量为，则，

令，则，得

所以

又因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

（3）设

则

所以

化简得

解得：或（舍） 所以.