Question

已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）.

（Ⅱ）1.

【解析】

试题（Ⅰ）由题意知，，得，，代入椭圆的方程，再由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积得，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，得到，

当直线的斜率存在时，设:，联立方程组，求得，求得中点的坐标，代入圆的方程，得，再由弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到的表达式，即可求解面积的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）由题意知，得，，

所以，

由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，

所以，，椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，

令，得，，

当直线的斜率存在时，设:，，，，

由，得，

则，，

所以，，

将代入，得，

又因为 ，

原点到直线的距离，

所以

.

当且仅当，即时取等号.

综上所述，面积的最大值为1.