Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，为的中点，点在侧棱上.

（1）求证：；.

（2）若是的中点，求二面角的余弦值；

（3）若，当平面时，求的值.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解.

（1）取的中点，连结，，，

∵ ， ∴ ，

∵ 侧面底面， 平面平面 ，

∴ 底面，

∵ 底面是菱形，，

∴ ，，

以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，

由题意可得，，，，，，，，，

∵ ，∴ .

（2）由题意，，

设平面的一个法向量，，，

由，即，

令，，，所以，

又平面的一个法向量，

由，

右图可知，二面角为锐角，所以余弦值为.

（3）∵ ，，

易得，

设平面的一个法向量，

，，

由，即，

取，得，

又，

∵ 平面，∴ ，

即，得，

所以当时，平面.