Question

已知数列和满足，，对都有，成立.

（1）证明：是等比数列，是等差数列；

（2）求和的通项公式；

（3），，求证：.

Answer

（1）证明见解析；（2），；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将条件中两式分别相加和相减即可得等比和等差的递推关系，从而得证；

（2）由（1）可得，，从而可解得和的通项公式；

（3）由，设，则，进而利用错位相减即可得解.

（1）利用等差数列与等比数列的定义证明即可.

∵，，

∴，，

即，；

又，，

∴是首项为1，公比为的等比数列；是首项为1，公差为2的等差数列.

（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得.

由（1）可得：，.

从而，，

即，.

（3）证明：，

设，则，

，

，

由上下两式错位相减得：，

即.