Question

如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点.

（1）当直线过椭圆的右焦点时，求的面积；

（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再利用三角形的面积公式进行求解；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和斜率公式进行证明．

试题解析：（1）由题意，焦点，当直线过椭圆的右焦点时，则直线的方程为，即，

联立，，解得，或（舍），即.

连，则直线：，即，

而，.

故

（2）设，且，则直线的斜率为

，

则直线的方程为，

联立，化简得，

解得，

所以，，

所以为定值.