Question

已知函数，其中函数，.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最大值；

（3）当时，对于给定的正整数，问：函数是否有零点？请说明理由.（参考数据，，，）

Answer

（1）；（2）；（3）当时，函数无零点；当时，函数有零点，理由见解析.

【解析】

（1）由导数可得切线斜率，进而由点斜式即可得切线方程；

（2）先求得，可得或，再比较和的大小，利用函数单调性可得最大值；

（3）先证明，函数无零点，构造，，利用可证得，，函数有零点，利用零点存在性定理即可证得.

（1），故，，∴切线方程为，即.

（2），，可得或.

①，即时，在上递减，在上递增，

∴；

②，即时，在上递增，递减，在上递增，

∴；

综上所述，；

（3），函数无零点，

，函数有零点.

理由如下：

时，证明即可，即证明.

令，，

而，

令，解得：，令，解得：，

∴，

，

令，解得：，

令，解得：，

故，

∴，

故命题得证.

当时，，

，，

所以，函数有零点.