Question

如图，在四棱柱中，底面，，，且，. 点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）写出三棱锥体积的取值范围. （结论不要求证明）

Answer

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）.

【解析】

试题（Ⅰ）因为是棱柱，所以平面平面.由面面平行的性质定理，可得∥，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；（Ⅱ）在四边形ABCD中，因为，,且，，，利用勾股定理可得，，又.又，根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（Ⅲ）由题意可知，三棱锥的体积的取值范围是.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为是棱柱，

所以平面平面.

又因为平面平面，

平面平面，

所以∥. 3分

又平面，平面，

所以∥平面. 6分

（Ⅱ）证明：在四边形ABCD中，

因为，,且，，，

所以，.

所以，

所以，即. 7分

因为平面平面，

所以.

因为在四棱柱中，，

所以. 9分

又因为平面，，

所以平面. 11分

（Ⅲ）【解析】
三棱锥的体积的取值范围是. 14分.