Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过椭圆的右焦点作倾斜角不为零的直线与椭圆交于两点，设线段的垂直平分线在轴上的截距为，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理求出中点坐标，可得中垂线方程，令，得，分类讨论，利用基本不等式可得结果.

（1）由题意可得：,解得，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）当斜率存在时，设直线的方程为，

设，,则中点，

由消去得，

则，

所以，

因为的中垂线的方程为，

令，得，

当时，，则；

当时，，则，

当斜率不存在时，显然，

综上，的取值范围是.