Question

函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）

A. B.

C. D.

Answer

D

【解析】

根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.

函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，

，

，

即，

的周期为.

时，，

，

，

，

周期为4，，

当，

当，

做出函数图像，如下图所示：

令，

当，，

，两边平方得，

，

此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，

同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，

则要使函数在内与直线只有一个交点，

则满足，周期为4，

范围也表示为，

所以所有的取值范围是.

故选:D.