Question

已知函数.

(1)若在处取得最大值,求实数的值;

(2)若,求在区间上的最大值;

(3)若,直线都不是曲线的切线,求的取值范围(只需直接写出结果).

Answer

（1）；（2）当或时，取得最大值；当时，取得最大值；当时，在，处都取得最大值0；当时，在取得最大值．

（3）

【解析】

（1）求导数，确定函数的单调性，利用在处取得极大值，可求实数的值；

（2）分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而可求函数的最大值．

（3）求导数，根据，直线都不是曲线的切线，可得对成立，即使的最小值大于；

【解析】
（1）

令，得，

所以，随的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

因为在处取得极大值，所以

（2）因为，所以，

当时，对成立，所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递增，在时，，单调递减，所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递减，所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递减，在时，，单调递增，又，

当时，在取得最大值

当时，在取得最大值

当时，在，处都取得最大值0．

综上所述，当或时，取得最大值；当时，取得最大值；当时，在，处都取得最大值0；当时，在取得最大值．

（3）求导数可得

因为，直线都不是曲线的切线，所以对成立

所以只要的最小值大于，所以