Question

已知函数,.

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)讨论的单调性;

(3)若有两个零点,求的取值范围(只需直接写出结果).

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（3）根据函数的单调性求出的最大值，得到，所得到，证明当时，有两个零点即可．

【解析】
（1）时，，

， ，，

故切线方程是：，

故切线方程是：

（2）

①当时，显然，在上单调递增；

②当时，令，则，易知其判别式为正，

设方程的两个根分别为，，则，

，

令得，其中，

所以函数在上递增，在上递减．

（3）由（2）知

①当时，显然在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；

②当时，函数在上递增，在，上递减，

要使有两个零点，必须，即，

又由得：，代入上面的不等式得：，解得，

，所以

下面证明：当时，有两个零点．

，

，

又，

且，

，

所以在与上各有一个零点．