Question

如图，将数字1,2,3，…，（）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为，，…，，第二行填入的数字依次为，，…，．记．

（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；

（Ⅱ）给定正整数．试给出，，…，的一组取值，使得无论，，…，填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；

（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同.

Answer

（Ⅰ）3,5,7,9．（Ⅱ）（Ⅲ）奇偶性相同．

【解析】

试题

（Ⅰ）根据题意，易知的所有可能的取值为3,5,7,9．（Ⅱ）令（，，…，），则无论，，…，填写的顺序如何，都有．∵，∴，（，，…，），∵（，2，…，），所以．（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．不妨设，记，，其中1，2，…，，

则，因为，所以与具有相同的奇偶性，又因为与的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同．

试题解析：

（Ⅰ）的所有可能的取值为3,5,7,9．

（Ⅱ）令（，，…，），则无论，，…，填写的顺序如何，都有．

∵，∴，（，，…，），

∵（，2，…，），

所以．

（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．

不妨设，记，，其中1，2，…，，

则，

因为，

所以与具有相同的奇偶性，

又因为与的奇偶性相同，

所以的所有可能取值的奇偶性相同．