Question

已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．

（1）求函数，的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．

Answer

（1），；（2）4；（3）或

【解析】

（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；

（2）将代入，换元思想，分离参数，构造函数，求函数最小值，即可得实数的最大值；

（3）根据题意，换元后转化为方程有且只有一个正根，再对讨论即可得出的取值范围．

【解析】
（1），用代替得，

则，

解方程得：，.

（2）对任意恒成立，

令，，因为令在单调递增，故

则对恒成立

当时， 故，即

（3）由题：方程有且只有一个根

即有且只有一个根，

令，因为在上单调递增，且

故方程（*式）有且只有一个正根

①当时，方程有唯一根，合题

②当时，方程变形为，解得两根为，

因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或

综上：的取值范围为或