Question

已知函数，.

（1）当时，求函数的值城

（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；

（3）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，，

【解析】

（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；

（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.

（3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，再结合（2）知，的取值范围.

（1）在区间单调进减，

而，，故函数的值域为．

（2）因为在单调递减，在单调递增，

，则有，即

故，所以

（3）令，由（1）知

令，因为在单调减，在单调递增，

且，，

则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；

当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.

令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：

对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，

且有两个不等根，只有一个根，则必有

结合二次函数的图象，则有，解之得，

此时；，则其根，故必有.