Question

已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）对于任意，且，是否存在实数使得恒为正数？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer

(1)0;(2)见解析.

【解析】

试题（1）求出函数的定义域、导数，由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；
（2）恒成立，只需，设，又 则只需 在 上单调递减．从而有 0在上恒成立，分离出参数 后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值

试题解析：(1)由题设知：，

当时，当时；

∴在上为增函数，在上为减函数；

∴.

（Ⅱ）由题设知：恒成立，

即恒成立，设，

则有恒成立，

即在为减函数；

∴在恒成立，

∴在恒成立，

设，得

∴当时，当时；

∴在上为减函数，在上为增函数；

得

∴.