Question

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

Answer

（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元.

【解析】

（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；

（2）利用导数可求出该函数的最值．

（1）由题意知，，

将代入化简得：（）；

（2），

（ⅰ）当时，

①当时，，所以函数在上单调递增，

②当时，，所以函数在上单调递减，

从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；

（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，

所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，

即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；

当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.