Question

如图，已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点；

（1）若，求点、点的坐标；

（2）设动点满足，其轨迹为曲线，求曲线的方程；

（3）请指出曲线的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；

（4）判断曲线是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1），（2）（3）曲线关于轴对称,曲线的顶点为；图形范围满足，理由见解析（4）存在，

【解析】

（1）已知可得点的横坐标为6，结合，求出坐标，进而求出直线方程，与圆方程联立，即可求出点坐标；

（2）设所在直线方程为，与圆方程联立，求出含有的两点坐标，设，，将向量用坐标表示，求出曲线以为参数的方程，消去，即可求解；

（3）由（2）曲线方程为，取为，方程不变，可判断曲线对称性；再由，求出的取值范围，，，求出定点坐标；

（4）由的范围，结合分式变化趋势，可确定渐近线方程.

（1）由已知可得点的横坐标为6，则纵坐标为，

设直线为，把点坐标代入得则，

联立，

解得．

∴，.

（2）设所在直线方程为，

联立，得，，

又，，

∴，

设，则，消去得：；

（3）取为，曲线方程不变，∴曲线关于轴对称；

由，解得：，

∴曲线的顶点为；图形范围满足；

（4）当时，若，则，

∴曲线的渐近线方程为．