Question

已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：，，求的通项公式；

（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（1）（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.（3）

【解析】

（1）根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;

（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.

（3）分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.

（1）由题意可知,.

当时,,

当时,也满足上式.

所以.

（2）解法一：由（1）可知,

即.

当时,,①

当时,,所以,②

当时,,③

当时,,所以,④

……

当时,n为偶数

当时,n为偶数所以

以上个式子相加,得

.

又,所以当n为偶数时,.

同理,当n为奇数时,

,

所以,当n为奇数时,.

解法二：

猜测：当n为奇数时,

.

猜测：当n为偶数时,

.

以下用数学归纳法证明：

,命题成立；

假设当时,命题成立；

当n为奇数时,,

当时,n为偶数,由得

故,时,命题也成立.

综上可知, 当n为奇数时

同理,当n为偶数时,命题仍成立.

（3）由（2）可知.

①当n为偶数时,,

所以随n的增大而减小从而当n为偶数时,的最大值是.

②当n为奇数时,,

所以随n的增大而增大,且.

综上,的最大值是1.

因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,

故实数的取值范围是.