Question

如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化的效果越好.设计要求管道的接口E是的中点，F，G分别落在，上，且，，设.

（1）当为何值时，的面积S最小，并求出最小值；

（2）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；

（3）当为何值时，污水净化的效果最好，并求此时管道的长度.

Answer

（1），100（2）（3）当取或时效果最好，此时.

【解析】

(1)利用三角函数定义表示出EG和FE的长度,利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式可求得面积的最小值;

(2)根据(1)中的表示出EG和FE的长度,利用勾股定理可得长度FG.三边之和可得污水管道的长度l. 
(3)根据(2)中的关系式利用三角函数公式化简,利用三角函数的有界限可得l的最大值,即污水净化效果最好.

(1)由题意,.则, E是AB的中点,, 
,

所以 ,当时, 的面积S最小，最小值为,

所以当时，的面积S最小，最小值为100;

(2)由(1)得,则,

其中当与点重合时，，当与点重合时，，所以,

所以污水管道的长度表示成的函数为，其定义域为;
(3)由(2)可知则,令,
,, 可得,
则: 又,且
那么:
当时,长度l取得最大值为,此时:,即或,或, 
故得或时,污水净化效果最好,此时管道的长度为;