Question

已知函数f(x)＝x³－2x²＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

Answer

（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).

【解析】

试题（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.

解析：

(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)