Question

已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于、两点．

（1）若直线的方程为，求弦的长；

（2）如果的重心恰好为椭圆的右焦点，求直线方程的一般式．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由已知中椭圆的一个顶点为，离心率，根据，，可求出椭圆的标准方程，进而求直线的方程及弦长公式，得到弦的长；

（2）设线段的中点为，，结合（1）中结论，及的重心恰好为椭圆的右焦点，由重心坐标公式，可得点坐标，由中点公式及，也在椭圆上，求出的斜率，可得直线方程．

【解析】
（1）由已知椭圆的一个顶点为，

，

又离心率，

即，

，解得，

椭圆方程为；

由与联立，

消去得，

，，

所求弦长；

（2）椭圆右焦点的坐标为，

设线段的中点为，，

由三角形重心的性质知，又，

，，，

故得，，

求得的坐标为；

设，，，，则，，

且，

以上两式相减得，

，

故直线的方程为，即．