Question

如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折至，若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列命题：①是定值；②一定存在某个位置，使；③若平面，则平面；其中正确的是______.

Answer

①③

【解析】

取中点,连接结合余弦定理即可证明①;假设,可得线面垂直,根据线面垂直的性质可得矛盾,进而判断②;可证明平面平面,即证明③.

根据题意,取中点,连接,如下图所示:

对于①,定值

由可知四边形为平行四边形,可得定值

且定值

所以在中,由余弦定理可知

定值

所以①正确.

对于②,当时,不存在满足成立的点.

因为当时,

所以,即

若此时,由

可知平面,则

与矩形中矛盾（过直线外一点,作已知直线的垂线有且只有一条）,所以②错误.

对于③,根据中位线定理可知

由矩形性质可知,所以

而

所以平面平面

即平面

所以③正确.

综上可知,正确的为①③

故答案为: ①③