Question

已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：

① 函数在上是单调函数；

② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.

(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）

(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（ ）

(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）或

【解析】

(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.

(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.

设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”

(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可.

(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.

(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.

因为函数在R上单调递增，

所以，即方程有两个不等实根.

设，

可知，，，，

由零点存在定理知，存在，，使，.

设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.

(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.

因为，任取 ，且，

有，

因为，所以，

所以 ，即，

所以 函数在上为单调递增函数.

所以 ，于是方程在上有两个不等实根.

即在上有两个不等实根.

显然 是方程的一个解，所以 在至少有一个实根.

（1）当时，，不合题意，舍；

（2）当时，方程无实根，舍；

（3）时，,

所以 ，解出.

所以 ，又因为，所以 或.