Question

已知a∈R，函数f（x）=log．

（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；

（2）若关于x的方程g（x）=f（x）﹣log₃（ax+1）有且只有一个零点，求a的取值范围；

（3）设0＜a＜1，若对任意t，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer

（1）（0，）（2）（3）

【解析】

（1）利用对数函数的单调性解不等式；

（2）函数的零点转化为方程的根；

（3）利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，再作差变成不等式恒成立，最后构造函数求最值．

（1）a=1时，由f（x）＞1得，∴+1＞3，

∴0＜x＜，

∴不等式的解集（0，）

（2）g（x）=0时，log3（+a）=log3（ax+1），

∴+a=ax+1＞0，∴，

∴x=1，a＞﹣1，

故a的取值范围是（﹣1，+∞）

（3）f（x）=log3（+a）在定义域内为减函数，

∴在区间[t，t+1]内[f（x）]max=f（t），[f（x）]min=f（t+1）

∴log3（（+a）﹣log3（+a）≤1，

∴﹣+2a≥0，即2at2+（2a++2）t﹣1≥0，

∵0＜a＜1，∴﹣＜0，

∴y=2at2+（2a+2）t﹣1在[t，t+1]上为增函数，

∴2a（）2+（2a+2）﹣1≥0即可，

∴a，又0＜a＜1，

∴≤a＜1，

∴a的取值范围为[，1）