Question

定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．

Answer

【解析】

根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对分类讨论,确定的取值范围.进而得符合题意的解析式.根据解析式判断函数的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和.

因为,

则 ,

所以,,

当时, ,所以此时

则

若,当时, ,所以此时,则;当时, ,所以此时,则

综上可知,

此时在R上只有两个根,与题意恰有三个不同的解矛盾,所以不成立

因而不成立,所以

若,当时, ,由可解得

所以此时

当时, ,此时,所以

因为,即

综上可知,此时

所以在上单调递减,此时

在上单调递增,此时

在上单调递减,此时

在上单调递增,此时

函数图像示意图如下图所示:

当时,即

解得

所以三个零点的和为

故答案为: