Question

已知函数．

（1）用定义证明函数在R上是减函数；

（2）探究是否存在实数a，使得函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，解不等式．

Answer

（1）证明见解析;（2）（3）

【解析】

（1）根据定义,利用作差法可证明函数在R上是减函数;

（2）利用奇函数的定义,代入即可求得的值.

（3）利用奇函数的定义,将不等式变形,结合函数的单调性即可解不等式,求得的取值范围.

（1）证明: 函数,定义域为R

任取且

则

因为

所以

则,即

所以函数在R上是减函数

（2）若函数在R上是奇函数

则满足

即

化简可得

所以当时函数在R上是奇函数

（3）由（2）可知,当时函数在R上是奇函数

则可变形为

由（1）可知函数在R上是减函数

所以不等式可化为

即

解不等式可得或,即