Question

已知函数．

（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范围；

（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．

Answer

（1）（2）,函数的三个零点分别为

【解析】

（1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得的取值范围.

（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得的值,再将的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.

（1）令,由可得

则不等式在上恒成立,可化为在上恒成立

即,变形可得

所以

因为,则

所以根据二次函数的图像与性质可知

实数满足

所以实数的范围为

（2）令,则由对数的性质可知

函数的三个零点需满足

所以,化简可得

即

化简可得

因为恰好有三个实数根

则必有一根为（否则根据函数的对称性可知会有四个根）

即

代入方程可解得

则方程可化为,解方程可得或

当时,即,解得

综上可知,,函数的三个零点分别为