Question

设，已知函数与函数有交点，且交点横坐标之和不大于，求的取值范围_________。

Answer

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【解析】

将原问题进行等价转化，然后结合函数的解析式分类讨论即可确定的取值范围.

原问题等价于:设,已知函数,且所有零点之和不大于,求的取值范围.分类讨论:

(1)a<0时,当x≤0时,,,故在上单调递减,

又,所以在上有一个零点,

当时,,其对称轴为,

则在上单调递增,

又,,

则在上有一个零点,

,所以符合题意.

(2)当时,

①时,当时,,

所以在上单调递减,

,所以在上没有零点,

当时,,.

则在上没有零点,不符合题意;

②时,当时,,

令可得,

又时,单调递减;

时,单调递增,

又,

则在上有极小值,

所以在上没有零点,

当时,,,

则在上没有零点,不符合题意;

③时,.

当时,,令得,

又时,单调递减;

时,单调递增,

则在上有极小值,

则在上没有零点,

在上有一个零点为,满足题意;

④a>4时,

当时,,令可得,

又时,单调递减;

时,单调递增,

且,

则在上有极小值,

则在上没有零点,

时,,其对称轴,

,且,

根据韦达定理可判断在上有两个零点,且两根之和为,所以时符合题意.

综上,的取值范围为.